áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{c+a}{5}=\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}=\frac{c+b-b-c+a+b}{5-4+3}=\frac{2a}{4}=\frac{a}{4}\left(1\right)\)

Từ (1) có: \(\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}\Leftrightarrow3b+3c=4a+4b\Leftrightarrow b=3c-4a\left(2\right)\)

Thế 2 vào biểu thức  M ta có: \(M=10a+3c-4a-7c+2017=6a-4c+2017\left(3\right)\)

Từ (1) có\(:\frac{c+a}{5}=\frac{a}{2}\Leftrightarrow2c+2a=5a\Leftrightarrow2c=3a\Leftrightarrow4c=6a\left(4\right)\)

Thế (4) vào (3) ta có: \(M=6a-6a+2017=2017\)

Vậy GT M = 2017

+ Ta có : \(\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}\Rightarrow4a+4b=3b+3c\)

                                                 \(\Rightarrow4a+b=3c\)

             + \(\frac{a+b}{3}=\frac{c+a}{5}\Rightarrow5a+5b=3c+3a\)

                                                 \(\Rightarrow2a+5b=3c\)

            + \(\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}\Rightarrow5b+5c=4c+4a\)

                                                 \(\Rightarrow5b+c=4a\)

+ Ta có : \(\hept{\begin{cases}4a+b=3c\\5b+3a=3c\end{cases}\Rightarrow4a+b=5b+2a}\)

                                                         \(\Rightarrow2a=4b\)

                                                             \(\Rightarrow a=2b\)

+ Ta có : \(4a+b=3c\)

\(\Rightarrow4.2b+b=3c\)

\(9b=3c\)

\(\Rightarrow3b=c\)

+ Ta có : \(M=10a+b-7c+2017\)

                    \(=10.2b+b-7.3b+2017\)         

                       \(=20b+b-7.3b+2017\)

                         \(=21b-21b+2017\)

                              \(=0+2017=2017\)

Vậy M =2017 

Chúc bạn học tốt !!!

10 chia 9luôn dư 1 10^n cung luôn dư 1 khi chia9

1+8=9 chia 9 dư 0 đpcm
vậy 10^

​

Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}\Rightarrow4a+4b=3b+3c\Rightarrow4a+b-3c=0\left(1\right)\\\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}\Rightarrow5b+5c=4c+4a\Rightarrow4a-5b-c=0\Rightarrow4a=5b+c\left(2\right)\\\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{3}\Rightarrow3c+3a=5a+5b\Rightarrow2a+5b-3c=0\Rightarrow3c=2a+5b\left(3\right)\end{cases}}\)

Thay (2) vào (1) ta có: 3b=c

Thay (3) và (1) ta có: 2b=a

Vậy M=10a+b-7c+2017=10.2b+b-7.3b+2017=21b-21b+2017=0+2017=2017

\(a+c=2b\Rightarrow2bd=ad+cd=c\left(b+d\right)=bc+cd\)

\(\Rightarrow ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Lúc đó: \(2\left(\frac{10a+c}{10b+d}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=2\left(\frac{10.bk+dk}{10b+d}\right)^2-\left(\frac{bk}{b}\right)^2\)

\(=2k^2-k^2=k^2\)(1)

và \(\left(\frac{c}{d}\right)^2=\left(\frac{dk}{d}\right)^2=k^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\left(\frac{10a+c}{10b+d}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{c}{d}\right)^2\)(đpcm)